Propiedades de las operaciones lógicas

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1)  Idempotencia 

p˄p ≡ p
p˅p ≡p


2)  Asociatividad 

(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3)  Conmutatividad 

p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p

4)  Distributividad 

p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5)  Identidad 

p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6)  Complemento 

p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)
~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes 

(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan

~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)




Con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad

Ejemplo

(p ˄ q)     →    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]        

~(p ˄ q)     ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                        condicionante

(~p ˅ ~q)   ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                        De Morgan

[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)]    ˄   [(~p ˅ ~q) ˅ (~q ˅ p)]   distributividad

[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)]    ˄   [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)]   conmutatividad, asociatividad

[~p ˅ (v)]   ˄   [(v) ˅~q]                                           idempotencia, complemento 

         (v)    ˄    (v)                                               identidad 

                (v)                                                      identidad

Como la proposición se simplifica al valor de verdad (V), ésta es una tautología.

Es decir la proposición compuesta es equivalente a una proposición más simple que resulta de la simplificación de la primera.