Glosario

Glosario de términos elementales en la lógica matemática

Axioma, en la lógica y la matemática tradicional se entiende como un principio básico que se asume como verdadero sin recurrir o requerir de demostración alguna. El uso de axiomas para la resolución de problemas matemáticos empezó en la antigua Grecia, probablemente a partir del siglo V a.C., dio lugar al nacimiento de la matemática pura tal como hoy la conocemos. U ejemplo de axioma podría ser el llamado principio de contradicción el cual establece que: "Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo". La lógica, la lógica matemática y las matemáticas puras pueden dar inicio a su estudio con algunas proposiciones no demostrables, o postulados iniciales, a partir de los cuales se infieren otras proposiciones.

Hay que reconocer que este procedimiento es circular o bien que se da una infinita regresión en el razonamiento. Los axiomas de un sistema deben ser coherentes con algún otro, es decir, deben evitar incurrir en contradicción. Deben ser también independientes en el sentido de que no deben derivarse de ningún otro y deben ser muy pocos en número. A veces los axiomas han de interpretarse como verdades evidentes en sí mismas. La tendencia actual es reconocer tal pretensión para aseverar que un axioma debe ser asumido como verdadero sin demostración alguna en el sistema de que forma parte.

Postulado, los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como sinónimos. Algunas veces la palabra axioma se usa para referirse a los principios básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema deductivo, y el término postulado para señalar a los primeros principios peculiares de un sistema particular, como la geometría de Euclides. Rara vez se usa el término axioma para referirse a los primeros principios de la lógica, ni el término postulado para aludir a los primeros principios de las matemáticas.

Hipótesis, término procedente del griego que designa, etimológicamente, ‘aquello que se encuentra debajo de algo sirviéndole de base o fundamento’. En lógica filosófica, se entiende por hipótesis un enunciado (o un conjunto de enunciados) que precede a otros enunciados y constituye su fundamento. Asimismo, puede definirse como una proposición cuya verdad o validez no se cuestiona en un primer momento, pero que permite iniciar una cadena de razonamientos que luego puede ser adecuadamente verificada. Así, un ‘razonamiento por hipótesis’ es aquel que comienza ‘suponiendo’ la validez de una afirmación, sin que ésta se encuentre fundamentada o sea universalmente aceptada. La formulación de hipótesis adecuadas y correctamente fundamentadas en la experiencia es uno de los rasgos esenciales del método científico, desde Galileo e Isaac Newton. En lógica, la hipótesis toma la forma de un enunciado condicional, que debe seguir determinadas reglas para su admisión como razonamiento válido.

Enunciado, expresión lingüística de un juicio, una orden, un consejo o una duda, entre otras posibilidades. En la lógica, suele identificarse con una proposición, aunque, en realidad, el enunciado designa el hecho de expresar una determinada proposición. El concepto de enunciado posee, sin embargo, un significado más general que el de proposición, ya que ésta posee siempre una determinada estructura lógica y se encuentra sometida a las reglas de la lógica. John Langshaw Austin y Michel Foucault, dos filósofos contemporáneos, propusieron diferentes análisis de enunciado. Así, Austin distinguía entre ‘enunciados constatativos’ (constatan lo que es y proporcionan una información) y ‘enunciados performativos’ (producen determinados acontecimientos por el mero hecho de expresarlos); Foucault, en cambio, planteaba que un enunciado es una forma de decir o expresar que exige un contexto determinado (un cierto ‘orden del discurso’) para poder ser comprendido.

Lógica (del griego, logos, 'palabra', 'proposición', 'razón'), disciplina y rama de la filosofía que estudia los principios formales del conocimiento humano. Su principal análisis se centra en la validez de los razonamientos y argumentos, por lo que se esfuerza por determinar las condiciones que justifican que el individuo, a partir de proposiciones dadas, llamadas premisas, alcance una conclusión derivada de aquéllas. La validez lógica depende de la adecuada relación entre las premisas y la conclusión, de tal forma que si las premisas son verdaderas la conclusión también lo será. Por ello, la lógica se encarga de analizar la estructura y el valor de verdad de las proposiciones, y su clasificación.

La validez de una proposición se tomará de la veracidad de la conclusión. Si una de las premisas, o más, es falsa, la conclusión de una proposición válida será falsa. Por ejemplo: “Todos los mamíferos son animales de cuatro patas, todos los hombres son mamíferos, por lo tanto, todos los hombres son animales de cuatro patas” es una proposición válida que conduce a una conclusión falsa. Por otro lado, una proposición nula puede, por casualidad, llegar a una conclusión verdadera: “Algunos animales tienen dos patas; todos los hombres son animales, por lo tanto todos los hombres tienen dos patas” representa una conclusión verdadera, pero la proposición no lo es. Por lo tanto, la validez lógica depende de la forma que adopta la argumentación, no su contenido. Si la argumentación fuera válida, cualquier otro término podría sustituir a cualquiera de los casos utilizados y la validez no se vería afectada. Al sustituir “cuatro patas” por “dos patas” se comprueba que ambas premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa. Por lo tanto, la proposición no es correcta aunque posea una conclusión verdadera.

Lógica Aristotélica, la lógica que es conocida como lógica clásica (o tradicional) fue enunciada primeramente por Aristóteles, quien elaboró leyes para un correcto razonamiento silogístico. Un silogismo es una proposición hecha de una de estas cuatro afirmaciones posibles: “Todo A es B” (universal afirmativo), “Nada de A es B” (universal negativo), “Algo de A es B” (particular afirmativo) o “Algo de A no es B” (particular negativo). Las letras sustituyen a palabras comunes como “perro”, “animal de cuatro patas” o "cosa viviente", llamadas “términos” del silogismo. Un silogismo bien formulado consta de dos premisas y una conclusión, debiendo tener cada premisa un término en común con la conclusión y un segundo término relacionado con la otra premisa. En lógica clásica se formulan reglas por las que todos los silogismos bien construidos se identifican como formas válidas o no válidas de argumentación.

Lógica moderna, a mediados del siglo XIX, los matemáticos británicos George Boole y Augustus De Morgan abrieron un nuevo campo a la lógica, hoy conocido como lógica simbólica (o moderna), que más tarde fue desarrollada por el matemático alemán Gottlob Frege y de un modo especial por los matemáticos británicos Bertrand Russell y Alfred North Whitehead en Principia Mathematica (constituido por 3 volúmenes, 1910-1913). El sistema lógico de Russell y Whitehead cubre un espectro mayor de posibles argumentaciones que las que se pueden encontrar en la lógica silogística. Introduce símbolos para frases enteras y para las conjunciones que las unen, como “o”, “y”, “si... entonces...”. Cuenta con símbolos diferentes para el sujeto lógico y el predicado lógico de una frase; y adjudica símbolos para distinguir las clases, para los miembros de las clases y para las relaciones de la pertenencia a una clase y la inclusión en una clase. También se aleja de la lógica clásica en sus suposiciones de la existencia respecto a las cosas aludidas en sus afirmaciones universales. La afirmación “Todo A es B” significa en lógica moderna que “Si algo es A, entonces es B”; lo que, a diferencia de la lógica tradicional, no significa que todo A existe. El primer manual de lógica formal publicado en español fue la obra de Juan David García Bacca titulada Introducción a la lógica moderna (1936).

Tanto la rama clásica como la moderna implican métodos de lógica deductiva. En cierto sentido, las premisas de una proposición válida contienen la conclusión, y la verdad de la conclusión se deriva de la verdad de las premisas. También se han hecho esfuerzos para desarrollar métodos de lógica inductiva como las que sostienen que las premisas conllevan una evidencia para la conclusión, pero la verdad de la conclusión se deduce, sólo con un margen relativo de probabilidad, de la verdad de la evidencia. La contribución más importante a la lógica inductiva fue la aportada por el filósofo británico John Stuart Mill, quien en Sistema de Lógica (1843) estructuró los métodos de prueba que, según su interpretación, iban a caracterizar la ciencia empírica. Este estudio ha desembocado, en el siglo XX, en el campo conocido como filosofía de la ciencia. Muy relacionada con ésta se encuentra la rama de las matemáticas llamada teoría de la probabilidad.

Tanto la lógica moderna como la clásica asumen en sus formas más corrientes que cualquier proposición bien elaborada puede ser o verdadera o falsa. En años recientes se han desarrollado sistemas de la denominada lógica combinatoria: una afirmación puede tener un valor distinto a verdadero o falso. En algunos supuestos es sólo un tercer valor neutro, en otros es un valor de probabilidad expresado como una fracción que oscila entre 0 y 1 o entre -1 y +1. También se han llevado a cabo serios trabajos para desarrollar sistemas de lógica modal, con el objeto de representar las relaciones lógicas entre las afirmaciones de posibilidad e imposibilidad, de necesidad y contingencia. Otra vía es la que propone la lógica deóntica: la investigación de las relaciones lógicas entre órdenes o entre afirmaciones de obligación.

Muy relacionadas con la lógica se encuentran la semántica o filosofía del lenguaje, que trata acerca del significado de las palabras y de las frases; la epistemología, o teoría del conocimiento, que se ocupa de las condiciones bajo las cuales las afirmaciones son verdaderas; y la psicología del razonamiento, que se refiere a los procesos mentales que se siguen en el curso de un razonamiento. Algunos tratados sobre lógica incluyen estas materias, pero lo esencial de ese interés se ciñe a las relaciones lógicas entre diversas afirmaciones contrapuestas.

Módulo Es un conjunto coherente de objetivos, contenidos y actividades, diseñado de manera estructurado y flexible, que se elabora como guía para desarrollar programas de asignaturas de pregrado, diplomado postítulo y post-grado.

Semántica (del griego semantikos, 'lo que tiene significado'), estudio del significado de los signos lingüísticos, esto es, palabras, expresiones y oraciones. Quienes estudian la semántica tratan de responder a preguntas del tipo "¿Cuál es el significado de X (la palabra)?". Para ello tienen que estudiar qué signos existen y cuáles son los que poseen significación —esto es, qué significan para los hablantes, cómo los designan (es decir, de qué forma se refieren a ideas y cosas), y por último, cómo los interpretan los oyentes—. La finalidad de la semántica es establecer el significado de los signos —lo que significan— dentro del proceso que asigna tales significados.

La semántica se estudia desde una perspectiva filosófica (semántica pura), lingüística (semántica teórica y descriptiva) así como desde un enfoque que se conoce por semántica general. El aspecto filosófico está asentado en el conductismo y se centra en el proceso que establece la significación. El lingüístico estudia los elementos o los rasgos del significado y cómo se relacionan dentro del sistema lingüístico. La semántica general se interesa por el significado, por cómo influye en lo que la gente hace y dice.

 Cada uno de estos enfoques tiene aplicaciones específicas. En función de la semántica descriptiva, la antropología estudia lo que entiende un pueblo por importante desde el punto de vista cultural. La psicología, sustentada por la semántica teórica, estudia qué proceso mental supone la comprensión y cómo identifica la gente la adquisición de un significado (así como un fonema y una estructura sintáctica). El conductismo aplicado a la psicología animal estudia qué especies animales son capaces de emitir mensajes y cómo lo hacen. Quienes se apoyan en la semántica general examinan los distintos valores (o connotaciones) de los signos que supuestamente significan lo mismo, (del tipo 'el manco de Lepanto' y 'el autor del Quijote', para referirse los dos a Cervantes). La crítica literaria, influida por los estudios que distinguen la lengua literaria de la popular, describe cómo las metáforas evocan sentimientos y actitudes, entroncándose también en la semántica general.

Teorema, proposición que afirma una verdad demostrable, es un enunciado de una propiedad o proposición seguida de una demostración, es el resultado de un estudio matemático o de un sistema formal.

Paradoja, en el campo de la lógica y en el de las matemáticas, designa una conclusión contradictoria en apariencia que se deriva de lo que se plantea como premisas válidas. Las paradojas se conocen desde la época del filósofo griego Zenón de Elea en el siglo V a.C. Muchas paradojas, tras ser sometidas a examen, resultan estar basadas sobre premisas o argumentos falsos, o sobre presuposiciones incompletas que subyacen en los sistemas lógicos o matemáticos implicados. Otras paradojas, de cualquier modo, han sido más difíciles de resolver y su estudio ha contribuido a la evolución de las matemáticas modernas. Las paradojas semánticas dependen de la estructura del lenguaje, y asimismo la paradoja se utiliza a menudo como un recurso retórico en epigramas, poesía y otras formas de la escritura literaria.

Proposición, enunciado en el que se afirma algo, que puede ser verdadero o falso. Suele ser la expresión de un juicio y, por lo tanto, todo lo que se considera en un juicio tiene su reflejo en la proposición. Muchas veces se emplea ‘proposición’ en el mismo sentido que ‘enunciado’. Según la definición clásica de Aristóteles, una proposición es un discurso enunciativo que expresa un juicio y posee un significado que es verdadero o falso. La lógica se encarga de analizar la estructura y el valor de verdad de las proposiciones, así como su clasificación. Mientras que en la lógica clásica se afirma que la proposición (como el juicio) se compone de sujeto, verbo o cópula y predicado, la lógica formal moderna afirma que la proposición se compone de un ‘argumento’ (sujeto) y un ‘predicado’ (verbo). En lógica simbólica, el cálculo de proposiciones analiza la estructura formal de las proposiciones y el valor de verdad que éstas poseen.

Lógica difusa o Lógica fuzzy, de uso preferente en la informática, se caracteriza por ser una forma de lógica que se utiliza en algunos sistemas expertos y en otras aplicaciones de inteligencia artificial, en la que las variables pueden tener varios niveles de verdad o falsedad representados por rangos de valores entre el 1 (verdadero) y el 0 (falso). Con la lógica fuzzy, el resultado de una operación se puede expresar como una probabilidad y no necesariamente como una certeza. Por ejemplo, además de los valores verdadero o falso, un resultado puede adoptar valores tales como probablemente verdadero, posiblemente verdadero, posiblemente falso y probablemente falso.

Filosofía de la ciencia, investigación sobre la naturaleza general de la práctica científica. La filosofía de la ciencia se ocupa de saber cómo se desarrollan, evalúan y cambian las teorías científicas, y si la ciencia es capaz de revelar la verdad de las entidades ocultas y los procesos de la naturaleza. Su objeto es tan antiguo y se halla tan extendido como la ciencia misma. Algunos científicos han mostrado un vivo interés por la filosofía de la ciencia y unos pocos, como Galileo, Isaac Newton y Albert Einstein, han hecho importantes contribuciones. Numerosos científicos, sin embargo, se han dado por satisfechos dejando la filosofía de la ciencia a los filósofos, y han preferido seguir 'haciendo ciencia' en vez de dedicar más tiempo a considerar en términos generales cómo 'se hace la ciencia'. Entre los filósofos, la filosofía de la ciencia ha sido siempre un problema central; dentro de la tradición occidental, entre las figuras más importantes anteriores al siglo XX destacan Aristóteles, René Descartes, John Locke, David Hume, Immanuel Kant y John Stuart Mill. Gran parte de la filosofía de la ciencia es indisociable de la epistemología, la teoría del conocimiento, un tema que ha sido considerado por casi todos los filósofos. Importa destacar los aportes de Karl Popper, filósofo de la ciencia, de origen austriaco, famoso por su teoría del método científico y por su crítica del determinismo histórico La contribución más significativa de Popper a la filosofía de la ciencia fue su caracterización del método científico. En su Lógica de la investigación científica (1934), criticó la idea prevaleciente de que la ciencia es, en esencia, inductiva. Propuso un criterio de comprobación que denominó falsabilidad, para determinar la validez científica, y subrayó el carácter hipotético-deductivo de la ciencia. Las teorías científicas son hipótesis a partir de las cuales se pueden deducir enunciados comprobables mediante la observación; si las observaciones experimentales adecuadas revelan como falsos esos enunciados, la hipótesis es refutada. Si una hipótesis supera el esfuerzo de demostrar su falsedad, puede ser aceptada, al menos con carácter provisional. Ninguna teoría científica, sin embargo, puede ser establecida de una forma concluyente.

Bibliografía:

William y Martha Kneale

“El desarrollo dela Lógica” Editorial Tecnos S.A. Madrid, 1972

Stephen C. Kleene

Introducción a la Metamatemática”, Editorial Tecnos S.A. Madrid, 1974

Alberto Moreno

Lógica Matemática: Antecedentes y fundamentos”, EUDEBA, 1969

John G. Kemeny

“Introducción a las matermáticas finitas”. CECSA, 1964