Tablas de verdad

Las tablas de verdad se emplean para encontrar todos los posibles valores de verdad que puede tomar una proposición compuesta. Para ello se dan los siguientes pasos.

1. Se escriben todas las posibles combinaciones de valores de verdad que pueden tomar las proposiciones simples. Si en la proposición participan n proposiciones simples, entonces hay 2ⁿ combinaciones de valores posibles
2. Se enumeran cada una de las operaciones a efectuarse en orden creciente de complejidad
3. Se efectúan las operaciones considerando los valores de verdad obtenidos en los pasos anteriores
4. La columna que queda bajo la proposición compuesta que está siendo analizada contiene los valores de verdad buscados

Ejemplos

1)  ~p ˄ ~q ↔ ~(p˅q)

p	q	~p	~q	~p ˄~q	(p˅q)	~(p˅q)
V	V	F	F	F	F	F
V	F	F	V	F	F	F
F	V	V	F	F	F	F
F	F	V	V	V	V	V

~p ˄ ~q ↔ ~(p˅q)

V

V

V

V

2)   [(p ˅ ~q) ˄ (q ↔ r)] ˅ (p→ ~r)

P	q	R	~q	(p ˅ ~q)	(q ↔ r)	[(p ˅ ~q) ˄ (q ↔ r)]
V	V	V	F	V	V	V
V	V	F	F	V	F	F
V	F	V	V	V	F	F
V	F	F	V	V	V	V
F	V	V	F	F	V	F
F	V	F	F	F	F	F
F	F	V	V	V	F	F
F	F	F	V	V	V	V

~r	(p→ ~r)	[(p ˅ ~q) ˄ (q ↔ r)] ˅ (p→ ~r)
F	F	V
V	V	V
F	F	F
V	V	V
F	V	V
V	V	V
F	V	V
V	V	V

En el ejemplo 1 vemos que la proposición es siempre verdadera para cualquier combinación de valores de sus componentes. Esto nos conduce a las siguientes definiciones:

Tautología.- Una proposición se denomina tautología si ella es verdadera cualesquiera sean los valores de las proposiciones que la componen

Contradicción.- Una proposición se denomina contradicción si ella es falsa cualesquiera sean los valores de las proposiciones que la componen


Equivalencia Lógica.- Existe equivalencia lógica entre dos proposiciones p y q cuando cuando todos los valores de sus tablas de verdad son idénticos en número y orden
En el ejemplo 1 vemos que existe equivalencia lógica entre las proposiciones  ~p ˄~q y ~(p˅q) es decir:

~p ˄~q ≡ ~(p˅q)

Obsérvese que también podemos decir que existe equivalencia lógica entre dos proposiciones si la operación de equivalencia entre ellas da como resultado una tautología.

Operaciones Lógicas

Al tener varias proposiciones se pueden formar nuevas proposiciones valiéndose de las llamadas conectivas lógicas, entre las cuales figuran la partícula "no", las conjunciones "y","o", las palabras "si.....entonces" y "si y solo si ......." Así surgen las operaciones lógicas entre proposiciones, que permiten la construcción de proposiciones compuestas.

PROPOSICIONES + CONECTIVAS LÓGICAS = PROPOSICIÓN COMPUESTA

                                          operación lógica

Negación (~)

Cuando negamos algo, generalmente aplicamos la palabra "no" o la omitimos si ya estaba presente.

Por ejemplo: A las proposiciones "Es un día soleado" y "No es costoso" su respectiva negación es "No es un día soleado" y "Es costoso"

A cada proposición p se le puede poner en correspondencia su negación notada como ~p

p: Estoy enfermo // ~p: No estoy enfermo

q: El volcan no está tranquilo //~q: El volcan está tranquilo

En cuanto a los valores de verdad se tiene que

1. Si p es V, ~p es F                                  
2. Si p es F, ~p es V

Conjuncion ( ˄ )

A partir de dos proposiciones dadas se puede obtener una nueva proposición con ayuda de la conjunción "y" cuyo simbolo es "˄". Así p˄q. se lee "p y q"  

Por ejemplo: a partir de las proposiciones p: "el número 3 es impar" y q: "el número 4 es par" se puede formar una nueva proposición p˄q: "el número 3 es impar y el número 4 es par"

La proposición p˄q se considera verdadera si y solo si ambas proposiciones son verdaderas 

 

Disyunción ( ˅ )

A partir de dos proposiciones dadas se puede obtener una nueva proposición con ayuda de la conjunción "o" cuyo simbolo es "˅". Así p˅q. se lee "p o q"  

Por ejemplo: a partir de las proposiciones p: "todo cuadrado posee 4 lados" y q: "el hexágono tiene 5 lados" se puede formar una nueva proposición p˅q: "todo cuadrado posee 4 lados o el hexágono tiene 5 lados"

La proposición p˅q se considera verdadera si y solo si al menos una de las proposiciones dadas es verdadera 

Implicación o Condicional ( → )

Dos proposiciones pueden ligarse entre sí con ayuda de las palabras "si ........ entonces " cuyo simbolo es "→". Así p→q. se lee "p implica a q"  

Por ejemplo: a partir de las proposiciones p: "mañana llueve" y q: "no iremos de paseo" se puede formar una nueva proposición p→q: "si mañana llueve, entonces no iremos de paseo "

La proposición p→q se considera falsa solo en el caso en que la proposición p es verdadera, mientras que q es falsa.

Equivalencia o Bicondicional ( ↔ )

Con frecuencia se construyen proposiciones a partir de otras con la ayuda de las palabras "si y solo si" cuyo símbolo es "↔"

Por ejemplo: a partir de las proposiciones p: "el número dado es múltiplo de 5" y q: "el número dado es múltiplo de 10" se puede formar una nueva proposición p↔q: "el número dado es múltiplo de 5 si y solo si éste es múltiplo de 10"

La proposición p↔q es verdadera en el caso en que ambas proposiciones son verdaderas o en el que ambas son falsas